根据有关法律规定，滴滴司机虽然不能要求支付报酬，但送还遗失物所支出的必要费用，是有权要求遗失人予以承担的。因此，司机要求支付合理的送还费用，是完全合理的。

如题所述，甲因有急事而乘坐出租车，等到了目的地后便心急火燎地冲下车去，以迅雷不及掩耳之势往最终的目的地一路狂奔。后来，终于及时把事情处理后，甲才突然回过神来，自己的身份证不小心掉在了出租车上。好在，甲当时是用微信支付向司机支付费用的，于是便通过这个线索联系上了出租车司机。

向司机讲明事情以后，司机倒也没有推脱，不辞辛劳地开车前往甲的所在地，将身份证还给了甲。但是，司机虽然没有向甲索要报酬，但还是要求甲支付他送还身份证所花费路费。那么，甲是否应当支付费用呢？

根据有关法律规定，拾得遗失物后，拾得人应当妥善保管遗失物，并在条件允许的情况下向权利人返还或者交给公安机关。并且，拾得人即使返还财产的，也不能要求支付报酬，毕竟这和中华民族“拾金不昧”的传统美德相违背。但是，拾得人因保管或者送还遗失物的成本支出，是有权要求权利人予以承担的。

【中华人民共和国物权法】第一百一十二条 权利人领取遗失物时，应当向拾得人或者有关部门支付保管遗失物等支出的必要费用。 　　

因此，甲应当支付有关费用。